Лемма о конечном покрытии

Если $A \subset \mathbb{R}^m$ ограничено и замкнуто, то $A$ - компактно.

От противного: пусть $A$ нельзя покрыть конечным набором множеств семейства $\{G_{\alpha}\}$. Рассмотрим замкнутый куб $\Delta$, содержащий $A$. Разделив каждое ребро куба $\Delta$ пополам, построим на полученных ребрах $2^m$ одинаковых замкнутых кубиков. Части $A$, попавшие в каждый из этих кубиков, являются замкнутыми множествами. По крайней мере одну из этих частей нельзя покрыть конечным набором множеств семейства $\{G_{\alpha}\}$ Берем теперь кубик, содержащий такую часть $A$, этот кубик также делим на $2^m$ одинаковых замкнутых кубиков и находим среди них такой, что содержащуюся в нем часть $A$ нельзя покрыть конечным набором множеств семейства $\{G_{\alpha}\}$. Продолжив неограниченно такое построение, получим последовательность замкнутых вложенных кубов, диаметры которых стремятся к нулю и в каждом кубе есть точки множества $A$. Согласно Принципу Кантора существует точка $c$, принадлежащая всем этим кубам, которая в силу замкнутости множества $A$ принадлежит $A$. В семействе $\{G_{\alpha}\}$ имеется множество $G_{\alpha_0}$, которому принадлежит точка $c$, причем является его внутренней точкой. Значит, достаточно малая $O(c)$ содержится в $G_{\alpha_0}$. Так как диаметры кубиков построенной последовательности стремятся к нулю, то все эти кубики, начиная с некоторого, попадут в указанную $O(c)$, таким образом, будут покрыты множеством $G_{\alpha_0}$. Получено противоречие, поскольку кубики выбирались так, что содержащиеся в них части $A$ нельзя покрыть конечным набором множеств семейства $\{G_{\alpha}\}$. $\square$